I formlernas sköna värld

Men i rättvisans namn ska sägas att inte ens vi naturvetare kan vara säkra på om det egentligen finns någon verklighet. Man kunde få en inblick i de senaste teorierna kring detta fascinerande ämne i senaste Vetenskapens värld: ”Finns verkligheten på riktigt?” (kan ses på SVT Play). För den som redan känner till dubbelspaltexperimentet, Bells olikhet, Schrödingers katt, EPR-paradoxen och Heisenbergs obestämdhetsrelation som erbjuder allehanda intressanta tolkningar av verkligheten (angående determinism, lokal kausalitet, spöklik avståndsverkan, existens av en objektiv verklighet – det är bara att välja vad man ska tro på) så får vi här ytterligare något intressant att grubbla på: Är den verklighet vi upplever i själva verket ett hologram, där den egentliga informationen är lagrad vid universums ”rand”? Fysikerna förbereder nu experiment för att testa denna ”holografiska princip”.

I programmet framförs den i sammanhanget helt naturliga tanken att matematiken inte bara är en mänsklig uppfinning i form av ett verktyg för att beskriva och förutsäga fysikaliska fenomen, utan att den har en oberoende existens som ”den underliggande strukturen” vid randen. Verkligheten blir då en projektion av ett rent matematiskt objekt, nämligen den samlade matematiskt paketerade informationen vid randen. Därmed är matematiken verkligheten. Det finns således ingen principiell gräns för vår förmåga att förstå det vi kallar verklighet – i synnerhet inte om man är matematiker.

JAG VET ATT MATEMATIKEN FÖR vissa tycks obegriplig och många har fram till universitetsstudierna aldrig ens stött på ett matematiskt bevis, vilket är absurt då bevisföring är matematikens kärna. Jag tänkte därför bidra till folkbildningen med ett bevis för att det finns oändligt många primtal. Ett motsägelsebevis, där vi antar att motsatsen till det vi ska bevisa gäller, och visar att detta leder till en motsägelse.

För det första kan varje heltal på precis ett sätt skrivas som en produkt av primtal (aritmetikens fundamentalsats), där ett primtal ju är ett tal som bara är delbart med talet 1 och sig självt.

Antag nu att det finns ändligt många primtal som vi döper till p1, p2, p3, …, pN, där pN är det största primtalet (ett sådant måste ju finnas om de är ändligt många). Låt oss nu bilda talet Q=p1*p2*p3*…*pN+1, alltså produkten av alla primtal och denna produkt plus talet 1. Detta tal Q måste då kunna skrivas som en produkt av primtal (och därmed vara delbart med vart och ett av de primtal av vilka det är en produkt). Men vilka skulle det vara? Delar vi Q med vilket som helst av de existerande primtalen p1, …, pN så får vi alltid resten 1, så Q är inte delbart med något av dem. Så antingen måste Q vara ett nytt primtal eller så är det delbart med ett okänt primtal som inte finns med bland dem vi antog fanns. Således var antagandet om att det finns ändligt många primtal fel, och därmed har vi visat att det finns oändligt många primtal.